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Explora límites y continuidad paso a paso

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Paola Hernandez
Paola Hernandez
Mexico

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Límites y Continuidad
 

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Explora límites y continuidad paso a paso

by Paola Hernandez
1

Qué es un límite

Definición: límite de una función describe el valor al que se aproxima la función cuando la variable se acerca a un punto.

Se escribe como lim f(x) = L cuando x→a.

2

Límites por acercamiento

Considera valores de x muy cercanos a a, pero sin igualar a a. El resultado se aproxima a L.

Ejemplos simples ayudan a visualizarlo.

3

Propiedades básicas

Unicidad: si existe, el límite es único. Constancia: si f(x)=c, entonces lim f(x)=c.

Suma, producto, cociente se evalúan con límites.

4

Cálculo de límites

Rules: sustitución directa, factoring, racionalización, y técnicas de álgebra. A veces se usa l’Hôpital para indeterminaciones.

5

Indeterminaciones comunes

Indeterminaciones típicas: 0/0 y ∞/∞. Reescribe la expresión para descubrir el límite correcto.

6

Continuidad

Una función es continua en a si lim f(x)=f(a) y f está definida en a.

La continuidad facilita el cálculo de límites por sustitución.

7

Discontinuidades

Puede haber saltos, asíntotas o agujeros. Identificar tipo ayuda a decidir métodos de límite.

8

Ejemplos prácticos

Ejemplo: si f(x)=x^2 y a=3, entonces lim x→3 f(x)=9.

Observa cómo se obtiene el valor al acercarse.

9

Aplicaciones

Los límites fundamentan derivadas, integrales y series. Son clave en física, ingeniería y economía.

10

Resumen y práctica

Recuerda definición, técnicas, y continuidad. Practica con ejercicios y verifica con sustitución cuando sea posible.

11

Slide 1: ¿Qué es un límite?

Un límite es la tendencia de una función cuando la variable se aproxima a un valor concreto.

Se denota como lim f(x) = L cuando x ≈ a.

12

Slide 2: Definición intuitiva

Piensa en acercarte a un punto sin tocarlo. El valor al que se acerca la función es el límite.

No siempre la función está definida exactamente en ese punto.

13

Slide 3: Límite por secuencias

Si para toda secuencia x_n → a, se cumple f(x_n) → L, entonces lim f(x) = L.

Las secuencias ayudan a entender el concepto de límite.

14

Slide 4: Infinito y límites

Los límites pueden acercarse a ∞ o -∞, describiendo crecimiento o caída sin fin.

Ejemplos: 1/x ≈ ∞ cuando x → 0+.

15

Slide 5: Propiedades básicas

Si lim f(x) = L y lim g(x) = M, entonces lim [af(x) ± bg(x)] = aL ± bM.

Las operaciones preservan límites cuando existen.

16

Slide 6: Cotas y supuestos

Conocer límites permite establecer cotas y comportamientos asintóticos de funciones.

Ayuda a entender estabilidad y cambios límite.

17

Slide 7: Definición rigurosa (epsilon–delta)

Para todo ε>0 existe δ>0 tal que |x−a|<δ implica |f(x)−L|<ε.

Es la base formal del concepto de límite.

18

Slide 8: Límites en psicología (límites personales)

En psicología, un límite es la frontera saludable entre uno mismo y otros.

Evita agotamiento y mantiene bienestar emocional.

19

Slide 9: Errores comunes

No confundir límite con valor en el punto. También evitar sacar límite sin verificar existencia.

La continuidad implica que lim f(x) = f(a).

20

Slide 10: Resumen y ejemplos

Recordatorio: límites describen tendencia, no siempre valor en el punto.

Ejemplo: lim x→2 (3x+1) = 7.
 
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