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prueba de sistemas dinamicos , nivel universidad

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Sistemas dinamicos
 

Sistemas dinamicosOnline version

prueba de sistemas dinamicos , nivel universidad

by broderick trujillo
1

Un sistema masa-resorte-amortiguador está compuesto por una masa m, un resorte de constante k, y un amortiguador de coeficiente b La ecuación diferencial que describe el sistema es: mx" + bx´ + kx= F(t) ¿Cuál de las siguientes representaciones en variables de estado es correcta si definimos las variables de estado como x1=x ; x2= x´ ?

2

Considera un sistema rotacional compuesto por un disco con momento de inercia J, un amortiguador rotacional de coeficiente 𝐵, y un resorte rotacional de constante 𝐾. Se le aplica un torque T(t). La ecuación del sistema es: Jθ" + Bθ´ + Kθ = T(t) si definimos las variables de estado como x1=θ, x2=θ´ . ¡cual es la representación correcta en espacio de estados?

3

Considera un circuito RLC en serie compuesto por una resistencia R, una inductancia L, y un capacitor C, conectados a una fuente de voltaje V(t). La corriente que circula es I(t). Si se define: x1 = I (t) (corriente por la bobina) x2 = VC(t) (voltaje en el capacitor) ¿ cual de las siguientes representaciones en espacio de estados es correcta?

4

Se tiene un circuito RL en paralelo: una resistencia R y una inductancia L están conectadas en paralelo a una fuente de voltaje v(t). La corriente que circula por la inductancia es iL=(t) si se define: x1=iL(t) ¿ cual de las siguientes ecuaciones en espacio de estado describe correctamente el sistema?

5

dado el siguiente sistema lineal representado en espacio de estados:

6

considere el sistema lineal descrito por la ecuación de estado: ¿ cual es la naturaleza de los polos del sistema?

7

Un sistema mecánico masa-resorte-amortiguador tiene la ecuación diferencial: si m=1kg ,c=6 Ns/m , k=9 N/m, ¿ cual es el tipo de amortiguamiento del sistema?

8

Dado el sistema dinámico con función de transferencia. ¿Cuál es el tipo y el orden del sistema?

9

La matriz de estado de un sistema es: ¿Es este sistema estable en el sentido de Lyapunov?

10

¿Cuál es la representación en espacio de estados de la función de transferencia siguiente?

Explicación

parimos de la EDO: mx" + bx´+kx=F(t) --> x"= -( b/m)x´ - (k/m)x + (1/m)F(t). definiendo: x1=x ; x2=x´ entonces: x1´=x2 ; x2´ = x" = -(k/m)x1 - (b/m)x2 +(1/m) F(t). La opción A refleja esta estructura correctamente. Las otras opciones cometen errores al no dividir por 𝑚 o al mezclar derivadas incorrectamente

La ecuación rotacional es análoga a la masa-resorte-amortiguador, pero en términos angulares: Jθ"+Bθ´+ kθ =T(t) --> θ" = - (B/J)θ´ - (K/J)θ + (1/J)T(t) con: x1=θ; x2=θ´ entonces: x´1 =x2; x´2=-(k/J)x1 - (B/J)x2 + (1/J)T(t). Eso es exactamente lo que da la opción A. Las demás tienen errores al omitir la división por 𝐽 o en los signos.

para el circuito RLC serie se cumple: V(t)=Ri (t) + L(di/dt)+VC(t) --> Li= V(t) - Ri-VC --> x´1 =(1/l)(V(t)- Rx1-x2 ) y como : I(t)=C(dvc/dt) -->x´2 = (1/C ) x1

se calculan los autovalores de la matriz A: λ=-2 +- j los autovalores tienen parte real negativa --> el sistema es asintoticamente estable

El polinomio característico es s^2 +5s + 4=0 . Sus raíces son complejas conjugadas con parte real negativa, indicando un sistema estable con respuesta oscilatoria amortiguada

El sistema es críticamente amortiguado si c^2 = 4mk. aquí, 6^2 =36 y 4(1)(9)=36, por lo tanto, cumple la condición de amortiguamiento critico

El orden es 2 porque el denominador tiene dos polos (grado 2). Es tipo 1 porque hay un polo en el origen (s=0).

Los eigenvalores de A son -1 y -3. Como ambos tienen parte real negativa, el sistema es asintóticamente estable según Lyapunov.

La forma canónica controlable usa el denominador para A y el numerador para C. Se ordena: A: coeficiente del denominador con signo cambiado C:coeficiente del numerador directamente

 
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