Quiz de Residuo y Teorema del Residuo

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Exámenes cortos sobre residuos y cálculo de integrales complejas.

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Tadeo Sanchez

Mexico

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Quiz de Residuo y Teorema del Residuo


Quiz de Residuo y Teorema del ResiduoOnline version Exámenes cortos sobre residuos y cálculo de integrales complejas. by Tadeo Sanchez 1 ¿Qué es el residuo de una función f en z0? a La suma de todos los coeficientes de la serie de Taylor b El límite de f(z) cuando z→z0 c El término constante de la serie de Laurent d El coeficiente b1 de la serie de Laurent en z0 2 ¿Qué expresa el teorema del residuo para una curva γ y singularidades dentro de γ? a La integral de f alrededor de γ es 0 b La integral es 2πi veces la suma de los polos de f c La integral depende solo de los valores de f en γ d La integral de f alrededor de γ es 2πi veces la suma de sus residuos 3 ¿Qué es Res(f, z0) cuando z0 es un polo de orden 1? a El valor de f en z0 b La derivada de f en z0 c La suma de residuos en todos los ceros de h d El cociente g(z0)/h′(z0) si f = g/h 4 Según el texto, ¿qué Residuo tiene π cot(πz) en z=k, con k∈Z? a π b 0 c −π d 1 5 ¿Qué Residuo tiene π csc(πz) en z=k, con k∈Z? a −π b π c (−1)^k · π d 0 6 Si f tiene singularidad aislada z0 y γ recorre z0 una vez en sentido positivo, ¿qué relación describe la serie de Laurent cerca de z0? a f(z) = ∑ an (z−z0)^{n} sin(n) b f(z) = ∑ an (z−z0)^n + ∑_{n≥1} bn (z−z0)^{−n} c f(z) = c0 + c1(z−z0) + … sin(z−z0) d f(z) = ∑ bn (z−z0)^{n} 7 En el ejemplo de cálculo real, ¿qué método usa el residuo para evaluar la integral π/0 dθ/(a+cos θ) con a>1? a Transformar a una integral compleja en \|z\|=1 y usar residuos b Usar sustitución trigonométrica sin complejos c Aplicar directly la regla deSimpson d Usar integración por partes 8 ¿Qué indica la expansión f(z) (z−z0)^k cerca de z0 para hallar Res(f,z0)? a El residuo es el coeficiente c_n con n+k−m = −1 en la serie, según el caso b El primer término de la serie de Taylor c El término de más alta potencia z^n d La derivada de f en z0 9 Si f = g/h y z0 es cero de g de orden k y de h de orden m, ¿cuál es la idea clave para hallar Res(f,z0)? a Tomar el límite de f(z)/(z−z0) b Calcular f′(z0) y usar f(z0) c Expresar f como serie de Laurent y hallar el coeficiente que da el residuo d Restar g y h evaluadas en z0 10 ¿Qué afirma la definición 1.1 (Residuo) en el texto de Residuo_2022.pdf? a Res(f, z0) es la suma de todos los coeficientes b Res(f, z0) es el límite de f(z) cuando z→z0 c Res(f, z0) es el coeficiente a0 de la serie de Taylor d Res(f, z0) es el coeficiente b1 de la serie de Laurent Explicación 1 El residuo es específicamente el coeficiente b1 en la parte de (z−z0)−1 de la Laurent alrededor de z0. 2 La formulación clave: ∮γ f(w) dw = 2πi Σ Res(f, zk) para las singularidades en el interior. 3 Para cociente g/h con z0 cero de order m=1 de h, Res(f,z0)=g(z0)/h′(z0). 4 Res(π cot πz, k) = π cos(kπ)/cos(kπ) = π, para k entero. 5 Res(π csc πz, k) = (−1)^k · π. 6 La Laurent tiene una parte regular ∑ an (z−z0)^n y una parte principal con ∑ bn (z−z0)^{−n}. 7 Se convierte en una integral sobre el círculo unitario y se calculan residuos. 8 La fórmula general relaciona potencias y órdenes para obtener Res(f,z0). 9 El residuo se obtiene analizando la expansión y encontrando el coeficiente pertinente. 10 La definición identifica residuo con el coeficiente b1 en la parte (z−z0)^{−1}.

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Quiz de Residuo y Teorema del ResiduoOnline version

by Tadeo Sanchez

¿Qué es el residuo de una función f en z0?

¿Qué expresa el teorema del residuo para una curva γ y singularidades dentro de γ?

¿Qué es Res(f, z0) cuando z0 es un polo de orden 1?

Según el texto, ¿qué Residuo tiene π cot(πz) en z=k, con k∈Z?

¿Qué Residuo tiene π csc(πz) en z=k, con k∈Z?

Si f tiene singularidad aislada z0 y γ recorre z0 una vez en sentido positivo, ¿qué relación describe la serie de Laurent cerca de z0?

En el ejemplo de cálculo real, ¿qué método usa el residuo para evaluar la integral π/0 dθ/(a+cos θ) con a>1?

¿Qué indica la expansión f(z) (z−z0)^k cerca de z0 para hallar Res(f,z0)?

Si f = g/h y z0 es cero de g de orden k y de h de orden m, ¿cuál es la idea clave para hallar Res(f,z0)?

¿Qué afirma la definición 1.1 (Residuo) en el texto de Residuo_2022.pdf?

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