Stone–Weierstrass: Teorema clave

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Densidad de A en C(X)

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Abigail

Mexico

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1	Abigail May 11, 2026	% 81	01:42

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Stone–Weierstrass: Teorema clave


Stone–Weierstrass: Teorema claveOnline version Densidad de A en C(X) by Abigail 1 ¿Qué garantiza el teorema de Stone–Weierstrass? a Toda función continua en X se puede aproximar uniformemente por elementos de A. b Solo funciones polinomiales pueden aproximarse. c Cualquier función puede aproximarse sin condiciones. d A debe ser igual a C(X). 2 ¿Qué condiciones debe cumplir A para que sea denso en C(X)? a A debe ser cerrado bajo integración. b A debe ser todo C(X). c A solo debe contener funciones continuas. d A es subanillo de C(X) que separa puntos y contiene constantes. 3 ¿Qué significa 'separar puntos' en este contexto? a Existe una única f∈A que distingue todos los pares. b Para todo x≠y, f(x)=f(y) para todo f∈A. c A contiene todas las funciones que toman valores distintos en cada punto. d Para x≠y existe f∈A tal que f(x)≠f(y). 4 En versión compleja, ¿cuál condición adicional suele requerirse? a A debe contener solo polinomios. b A debe ser cerrado bajo conjugación compleja. c A debe ser estable bajo derivación. d A debe ser igual a C(X). 5 Ejemplo clásico de densidad de polinomios? a Las funciones trigonométricas no pueden aproximarse. b Las funciones racionales son densas en C([a,b]). c Los polinomios en x son densos en C([a,b]). d Las funciones exponenciales son densas en C([a,b]). 6 ¿X qué tipo de espacio se necesita? a X debe ser compacto y Hausdorff. b X puede ser no compacto. c X debe ser finito. d X debe ser sólo compacto. 7 ¿Qué ocurre si A no contiene constantes? a Solo funciona para funciones polinomiales. b La densidad permanece, igual que si hubiera constantes. c No garantiza densidad; constantes no pueden aproximarse. d A debe ser igual a C(X) de todos modos. 8 ¿En el caso real, cuál es la condición adicional respecto a la conjugación? a A debe contener funciones complejas. b A debe estar cerrado bajo conjugación. c A debe ser tridimensional. d No es necesario requerir cierre con conjugación. 9 ¿Qué conjunto de funciones sirve como ejemplo de A en [0,1]? a Los polinomios en x. b Las funciones racionales sin singularidades. c Las funciones exponenciales solamente. d Las funciones trigonométricas puras. 10 ¿Qué afirma el teorema de Stone–Weierstrass para un espacio compacto X? a Una subálgebra A de C(X) que separa puntos y contiene constantes es densa en C(X) b Toda álgebra de funciones en X es densa en C(X) c Cualquier función continua se puede expresar exactamente como un polinomio en X d La densidad solo se da para X finito 11 ¿Cómo se aplica el teorema a funciones reales vs complejas? a Solo aplica a funciones complejas b No aplica a funciones reales c Sólo para funciones constantes d Puede adaptarse a C(X,R) o C(X,C) con condiciones similares Explicación 1 Permite aproximar cualquier f∈C(X) por A si se cumplen las condiciones. 2 Las condiciones clave son separar puntos y contener constantes; además, A ⊂ C(X). 3 La separación de puntos evita colapsar parejas distintas. 4 Para el caso complejo, la conjugación está incluida entre las condiciones. 5 Polinomios aproximan cualquier continua en un intervalo cerrado. 6 La compacticidad y la separación (Hausdorff) son esenciales. 7 Las constantes son necesarias para la densidad en C(X). 8 En reales, la conjugación no es una operación relevante. 9 Los polinomios generan la densidad en C([0,1]). 10 Las condiciones clave son: A separa puntos, contiene constantes y es subálgebra. Sin ellas no se garantiza densidad. 11 La versión real y compleja comparten la idea de separación de puntos y presencia de constantes.

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¿Qué garantiza el teorema de Stone–Weierstrass?

¿Qué condiciones debe cumplir A para que sea denso en C(X)?

¿Qué significa 'separar puntos' en este contexto?

En versión compleja, ¿cuál condición adicional suele requerirse?

Ejemplo clásico de densidad de polinomios?

¿X qué tipo de espacio se necesita?

¿Qué ocurre si A no contiene constantes?

¿En el caso real, cuál es la condición adicional respecto a la conjugación?

¿Qué conjunto de funciones sirve como ejemplo de A en [0,1]?

¿Qué afirma el teorema de Stone–Weierstrass para un espacio compacto X?

¿Cómo se aplica el teorema a funciones reales vs complejas?

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