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Proyecto 3 Juego matemático: El Desafío de los Logaritmos

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Proyecto 3 Juego matemático: El Desafío de los Logaritmos

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Quiz de logaritmos y sus propiedades

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lisseth cruz
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El Salvador

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Proyecto 3 Juego matemático: El Desafío de los Logaritmos
 

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Quiz de logaritmos y sus propiedades

by lisseth cruz
1

¿Si f(x) tiene Dominio = R y Rango = [0, +∞), cuál es el Dominio de su función inversa f^{-1}(x) ?

2

¿Cuál de las siguientes opciones expresa correctamente la igualdad exponencial 2^4 = 16 en notación logarítmica?

3

Exprése el logaritmo log(1,000) = 3 en su notación exponencial correspondiente:

4

¿Cuál es el valor exacto de la expresión: log_2(32) + log_3(27) - log_4(16)?

5

Desarrolle usando propiedades de producto y potencia: log(10x^4 · y^-3)

6

Calcule utilizando propiedades de cambio de base: log_16(8)

7

¿Cuál es la relación geométrica entre las funciones y = 2^x y su función inversa y = log_2(x)?

8

¿Cuál es el valor del logaritmo de la unidad en cualquier base válida? Por ejemplo, log₈₁(1).

9

Utilizando las propiedades de los logaritmos, ¿cómo se expresa correctamente log₇(∛2)?

10

Si calculas el logaritmo decimal log(0.01), ¿ qué valor obtienes?

Explicación

Justificación: Por definición de función inversa, el dominio de la función inversa f−1 es exactamente igual al rango de la función original f. Dado que el rango de la exponencial es ]0, +∞[, este se convierte en el dominio de la función logarítmica.

Justificación: Aplicando la definición fundamental: log_b(a) = n <=> bn = a; donde la base b=2, el argumento a=16 y el resultado n=4. Por tanto: log2(16) = 4.

Un logaritmo de base 10 cumple que log10(a) = n <=> 10n = a. Reemplazando los valores dados, obtenemos de inmediato la equivalencia 10^3 = 1,000

• log2(32) = 5 porque 25 = 32. • log3(27) = 3 porque 33 = 27. Respuesta Correcta y Justificación• log4(16) = 2 porque 42 = 16. Sustituyendo los valores en la ecuación: 5 + 3 - 2 = 6.

Separando por la propiedad de la multiplicación: log(10) + log(x4) + log(y−3). Sabiendo que log(10) = 1, y aplicando la propiedad de la potencia (bajar el exponente multiplicando): 1 + 4•log(x) -3•log(y).

Aplicando cambio de base en base 2: (log2√8) / (log2(16)). Como √8 = 2^(3/2), el numerador es 3/2. Como 16 = 2^4, el denominador es 4. Al realizar la división de fracciones (3/2) ÷ 4, obtenemos 3/8.

Justificación: Las funciones inversas poseen la característica de que sus coordenadas se invierten (x, y) pasa a ser (y, x). Esto produce un reflejo o simetría perfecta con respecto a la recta bisectriz del primer y tercer cuadrante, definida por la ecuación y = x.

La propiedad del logaritmo de una raíz dicta que logₐ(ⁿ√bᵐ) = (m/n) • logₐ(b). Como la raíz es cúbica (n=3) y el exponente interno del 2 es 1 (m=1), el coeficiente resultante es un tercio, obteniendo (1/3) • log₇(2).

forma exponencial buscamos el exponente tal que 10ˣ = 0.01. Dado que 0.01 equivale algebraicamente a 1/100, esto puede reescribirse como 10⁻². Por lo tanto, x = -2.

 
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