Binomial Challenge: Practical Problems

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Binomial problems set

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Kevin Rodriguez

Uruguay

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Binomial Challenge: Practical ProblemsOnline version Binomial problems set by Kevin Rodriguez 1 6. Se seleccionan tres cartas, en forma aleatoria, sucesivamente y con reemplazo de una baraja de 52 cartas. Determina la probabilidad de que exactamente 2 sean ases. ¿Cuál es el número esperado de ases? a P(X=2) = 1/8 b P(X=2) = 3/52 c P(X=2) = C(3,2) (1/13)^2 (12/13) = 36/2197 ≈ 0.01638; μ = np = 3/13 ≈ 0.2308 d P(X=2) = 1/3 2 7. Una moneda está sesgada de manera que P(Cara)= 0,2. Si X es la variable aleatoria: “número de caras al realizar tres lanzamientos”, determina una fórmula para P(X = x). a P(X = x) = C(3, x) (0.5)^x (0.5)^(3-x) b P(X = x) = (0.2)^x (0.8)^(3-x) sin combinaciones c P(X = x) = C(3, x) (0.2)^x (0.8)^(3-x) para x = 0,1,2,3 d P(X = x) = C(3, x) (0.8)^x (0.2)^(3-x) 3 8. Calcular la probabilidad de que al lanzar 10 monedas perfectas salgan al menos el doble de caras que de números. a P(X ≥ 8) = 45/1024 b P(X ≥ 7) = 256/1024 c P(X ≥ 5) = 632/1024 d X ~ Bin(10, 0.5); P(X ≥ 7) = sum(k=7..10) C(10,k) (0.5)^10 = 176/1024 ≈ 0.1719 4 9. Se tira un dado 8 veces. Calcula la probabilidad de que al menos en tres ocasiones salga sólo 5 o 6. a Cada tiro tiene p = 2/6 = 1/3 de ser 5 o 6. P(X ≥ 3) con X ~ Bin(8, 1/3) = 1 − [P(0)+P(1)+P(2)] = 3489/6561 ≈ 0.5317 b P(X ≥ 3) = 0.33 c P(X ≥ 3) = 0.75 d P(X ≥ 3) = 0.25 5 10. Un consultor financiero afirma que el 60% de las acciones que vende aumentan su valor. Un cliente selecciona de manera aleatoria 4 acciones de una lista de 200 que él recomienda. Determina la probabilidad, redondeada a 2 decimales, de que al menos dos de las acciones elegidas aumenten su valor. ¿Cuántas acciones, de las 4 elegidas, puede esperar que aumenten de valor? a P(X ≥ 2) = 0.90; μ = 3.0 b P(X ≥ 2) = 0.50; μ = 2 c X ~ Bin(4, 0.6). P(X ≥ 2) = 1 − P(0) − P(1) = 1 − (0.4)^4 − 4(0.6)(0.4)^3 = 0.8208; Esperanza μ = np = 2.4 d P(X ≥ 2) = 0.70; μ = 2.0 6 12. Se estima que la probabilidad de que Luis Suarez haga gol cuando le toca ejecutar un penal es de 92%. Determina la probabilidad de que haga por lo menos dos goles si le toca ejecutar cuatro penales. a X ~ Bin(4, 0.92). P(X ≥ 2) = 1 − P(0) − P(1) ≈ 1 − 0.08^4 − 4(0.92)(0.08)^3 ≈ 0.9981 b P(X ≥ 2) ≈ 0.75 c P(X ≥ 2) ≈ 0.50 d P(X ≥ 2) ≈ 0.90 7 13. Un examen tipo test consta de 20 preguntas, con 4 respuestas cada una, de las cuales sólo una es correcta. Un alumno sabe la respuesta correcta de 10 preguntas, contestará las restantes al azar. Para aprobar necesita tener al menos 13 respuestas correctas. ¿Cuál es su probabilidad de aprobar? ¿Cuál es el número de preguntas que puede esperar contestar bien? a Aprobar: P ≈ 0.80; Esperanza total = 14.5 b Aprobar: P ≈ 0.25; Esperanza total = 15 c Aprobar: P ≈ 0.60; Esperanza total = 13 d Aprobar: Y ~ Bin(10, 0.25), P(Y ≥ 3) ≈ 0.4745; Esperanza total = 10 (conocidas) + 2.5 (esperado de las 10 al azar) = 12.5

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6. Se seleccionan tres cartas, en forma aleatoria, sucesivamente y con reemplazo de una baraja de 52 cartas. Determina la probabilidad de que exactamente 2 sean ases. ¿Cuál es el número esperado de ases?

7. Una moneda está sesgada de manera que P(Cara)= 0,2. Si X es la variable aleatoria: “número de caras al realizar tres lanzamientos”, determina una fórmula para P(X = x).

8. Calcular la probabilidad de que al lanzar 10 monedas perfectas salgan al menos el doble de caras que de números.

9. Se tira un dado 8 veces. Calcula la probabilidad de que al menos en tres ocasiones salga sólo 5 o 6.

12. Se estima que la probabilidad de que Luis Suarez haga gol cuando le toca ejecutar un penal es de 92%. Determina la probabilidad de que haga por lo menos dos goles si le toca ejecutar cuatro penales.